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# Les Plans
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## Definitions
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- Dans \\(\mathbb{R}^3\\), une equation cartésienne d'un plan est de la forme:
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\\[
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ax + by + cz = d \text{ où } a, b, c, d \in \mathbb{R} \text{ et } (a,b,c) \neq (0,0,0)
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\\]
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- Le vecteur \\((a,b,c)\\) est un vecteur normal du plan.
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- Tout vecteur colineaire de ce vecteur est aussi un vecteur normal du plan
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> ex : \\(\alpha = 5x - 2y + 7z = 1 \\) Un vecteur normal de \\(\alpha \text{ est } (5, -2, 7)\\)
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- Soient P \\(P = (p_1, p_2, p_3) \text{ et } Q = (q_1, q_2, q_3)\\) Deux points quelconques de \\(\alpha\\) dans un plan
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- Le vecteur \\(v\\) joingnant p à Q est orthogonale à \\((a,b,c) \quad P \in \alpha\\)
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- Comme P appartient à \\(\alpha\\), on à: \\(ap_1 + bp_2 + cp_3 = d\\)
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- Comme Q appartient à \\(\alpha\\), on à: \\(aq_1 + bq_2 + cq_3 = d\\)
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- faisons \\((ap_1 + bp_2 + cp_3 = d) - (aq_1 + bq_2 + cq_3 = d)\\)
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- càd \\( \big( (a,b,c)\vert (q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3)\big) = 0\\)
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- où \\((q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3) \equiv q - p = v\\)
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